Le chaos: une idée vieille comme le monde, une science qui n'a pas 30 ans


par Michel Beuret, journaliste RP

 

Quatre ans après la sortie de son film "Jurassic Park", Stephen Spielberg récidive avec "Lost World" (ou "Jurassic Park II").

 

 

Ces deux films ne doivent pas leur succès qu'à la magie des effets spéciaux et à un bombardement publicitaire. Les mathématiques y sont aussi pour beaucoup...

 

 

Ces deux films ont en effet relancé la mode scientifique dite du Chaos au travers du personnage de Ian Malcolm, jeune mathématicien aux allures de rock star qui prophétise un sombre avenir aux scientifiques trop sûrs d'eux.

L'idée du chaos est vieille comme le monde. L'idée d'un ordre dans le chaos est vieille comme la science. «Mais l'idée de comprendre le désordre du monde ne s'est érigé en effort collectif que depuis trente ans», explique François Bavaud, professeur à l'Université de Lausanne et spécialiste du Chaos. «La mode est partie des Etats-Unis, relève le professeur et elle s'est peu préoccupée d'études d'illustres précurseurs comme le mathématicien Poincaré (1908).»

Les phénomènes inexpliqués, déjà...

Dans les années soixante-dix, une poignée de physiciens, biologistes, mathématiciens &endash; américains pour la plupart &endash; ont commencé à s'intéresser aux phénomènes inexpliqués par la science classique. Ces chercheurs, travaillant chacun de leur côté, ne soupçonnaient pas que d'autres planchaient sur les mêmes questions: d'où vient le désordre de l'atmosphère? Pourquoi et à quel moment l'écoulement de l'eau d'un robinet atteint-il son seuil de turbulence? Quels attracteurs étranges peuvent bien influer sur les volutes irrégulières d'une fumée de cigarette? Et que dire des variations imprévisibles de populations animales? Bref, comment sortir de l'impasse dans laquelle était bloqué le monde scientifique en refusant de voir l'aspect irrégulier, discontinu, désordonné, en un mot monstrueux, de la nature?

Par manque de communication entre les disciplines, mais aussi entre savants de l'est et de l'ouest &endash; nous sommes en pleine Guerre froide &endash; les thèses des «chaoticiens» ont mis du temps à se fédérer pour obtenir leurs lettres de noblesse. Aujourd'hui, les «convertis» les plus passionnés présentent la «théorie de la dépendance sensitive aux conditions initiales» &endash; Chaos, de son nom d'artiste &endash; comme la troisième grande révolution de la physique, rompant avec les principes de Newton.

Le mariage des nuages et de l'informatique

On ne sait pas bien quel scientifique a franchi le premier le tabou de la complexité, telle qu'elle est pratiquée aujourd'hui, mais selon l'historien du Chaos James Gleick, ce pourrait bien être le météorologue Edward Lorenz. Mathématicien de formation, Lorenz vint à s'intéresser à la météorologie pendant la Seconde Guerre mondiale. Il se retrouve alors au service météo de l'armée de l'air américaine. En observant les nuages, leurs formes irrégulières et les caprices du temps, il se demanda si l'on pourrait un jour prédire le climat avec précision et sur la longue durée. L'avènement de l'informatique dans les années soixante lui a donné, comme à d'autres chercheurs, de grands espoirs.

Le raisonnement de Lorenz est le suivant: puisque la météorologie est régie par les lois de la nature, et que le monde suit une trajectoire déterministe, il suffit d'introduire des données plus ou moins précises dans un ordinateur pour que celui-ci donne une projection climatique plus ou moins précise. Ce faisant, Lorenz marchait encore sous la bannière de Newton: une connaissance approximative des conditions initiales permet de déterminer avec la même approximation un système donné, c'est le principe de proportionnalité. Mais Lorenz ne réussit aucune prédiction avec son ordinateur. Tout juste a-t-il repéré des répétitions, jamais les mêmes, des formes, mais perturbées, une sorte de désordre ordonné.

L'effet papillon

Un jour d'hiver 1961, Lorenz travaillait à l'analyse d'une séquence graphique du temps. Sans reprendre tous ses calculs depuis le début &endash; les ordinateurs étaient alors très lents &endash;, il introduit son dernier listage, et va boire un café. Lorsqu'il revient, une heure plus tard, le graphique, censé reproduire exactement le précédent, représente quelque chose de très différent. Lorenz comprend alors ce qui a bouleversé son dessin : pour aller plus vite, il a écarté trois décimales après la virgule : 0,506 (127). Cette erreur infime a tout changé.

Lorenz en conclut que tout système physique ayant un comportement non périodique est imprévisible. En météorologie, on appela le phénomène «effet papillon». On le décrit souvent par la carricature suivante: le battement d'aile d'un papillon aujourd'hui à Pékin engendre dans l'air suffisamment de remous pour influer sur l'ordre des choses et provoquer une tempête le mois prochain à New-York.

Ce principe contredit le sens commun scientifique classique selon lequel un système simple devrait avoir un comportement simple et un système complexe, un comportement complexe. L'effet exponentiel était exclu du monde scientifique classique. Pourtant, note Gleick, le folklore traduit cette idée depuis longtemps : «Faute de clou, on perdit le fer; faute de fer, on perdit le cheval; faute de cheval, on perdit le cavalier; faute de cavalier, on perdit la bataille; faute de bataille, on perdit le royaume».

 

«L'affaire des comptes en déshérence ressemble beaucoup à un effet papillon»

 

«C'est compliqué»

Faute de pouvoir prédire le temps, Lorenz voulut démontrer pourquoi c'était impossible. Il travailla sur les systèmes dits apériodiques et non linéaires, qui, comme leur nom le suggère, sortent du cadre des systèmes que l'on avait le plus l'habitude d'étudier. «Analyser le comportement d'une équation non linéaire équivaut à se déplacer dans un labyrinthe dont la disposition des murs changerait à chaque pas», explique Lorenz. Après des centaines d'expériences, il dut conclure: «C'est compliqué».

C'est la conclusion à laquelle sont parvenus la plupart des pionniers du Chaos. Une position difficile à défendre scientifiquement. Non sans amertume, ils se virent l'un après l'autre, chacun dans sa branche, traités d'hérétiques ou d'excentriques.

Le Chaos est structuré

Les chaoticiens étaient pourtant persuadés que le Chaos se dissimule partout. Chacun peut l'observer dans sa vie quotidienne. Un homme quitte son domicile trente secondes trop tard, rate son bus, manque ensuite sa correspondance de train. Cette perturbation peut avoir de lourdes conséquences.

Les recherches de James Yorke &endash; qui donna, dit-on, le premier son nom au Chaos &endash; l'amenèrent à la conclusion non seulement que le Chaos est omniprésent, mais qu'il est stable et... structuré.

L'invariance d'échelle

Un autre grand chaoticien, Benoît Mandelbrot, aboutit à la même conclusion en empruntant un chemin différent. En analysant le prix du coton sur tout un siècle, grâce à des archives précises, il s'est rendu compte que la courbe des prix sur une journée est fondamentalement semblable à celle des prix sur une semaine, qui elle-même ne diffère que très peu d'une courbe établie sur un an ou une décennie. Malgré les interférences importante du marché dans le temps, comme les guerres, une journée ressemble à toute une période.

Mandelbrot s'aperçut plus tard, en dressant des graphiques de la bourse ou de débits fluviaux, qu'il existait un invariant d'échelle, une constante allant du plus petit au plus grand, du plus éloigné au plus proche. En considérant le même objet sous différents rapports, il vit des similitudes : ainsi, un ouragan ne diffère pas dans son principe d'un tourbillonnement de papiers au coin d'une rue.

L'apparition des images fractales

Au niveau graphique, Mandelbrot repère des similitudes entre le dessin que produit une fonction non linéaire et une quantité de motifs bien réels du monde naturel, appelés «fractales». Aujourd'hui, le domaine fractal est indissociable de la représentation du Chaos. C'est une manière de décrire, de penser et de calculer des formes irrégulières, dentelées, fragmentées, déchiquetées, disloquées. Les représentations fractales sont sans limites et vont du contour d'un flocon de neige aux poussières discontinues d'une galaxie.

Néanmoins, les images fractales possèdent une structure constante qui organise leur complexité apparente. Travaillant par intuition, Mandelbrot s'est même aperçu que plus l'image est compliquée &endash; on lui prête l'invention de la plus complexe jamais imaginée &endash; plus son support mathématique est simple.

Le Chaos a tout changé : on sait désormais que des systèmes simples peuvent avoir des comportements complexes et vice-versa. Les systèmes les plus simples posent même des problèmes de prédictibilité inouïs. Plus important encore, «les lois de la complexité peuvent être universelles, au sens où des systèmes apparemment très divers peuvent avoir des comportements essentiellement identiques», explique François Bavaud.

Vers une théorie universelle

L'universalité, c'est la quête poursuivie dans les années 70 par un autre chaoticien incontournable, Mitchell Feigenbaum. A l'âge de 29 ans, Feigenbaum débarque au laboratoire national de Los Alamos, Nouveau-Mexique. A temps perdu, il observe les nuages qui se déploient au-dessus des formations volcaniques. Comme ses confrères, il s'intéresse aux invariances de systèmes différents et sans ordre apparent. Il conclut lui aussi qu'une certaine régularité se cache sous la surface turbulente de ses équations non linéaires. Reste à le démontrer mathématiquement.

Feigenbaum aligne des journées de 22 heures, en alternant café et tabac, jusqu'à ce que les médecins lui imposent du repos. Trop tard, Feigenbaum vient d'accoucher d'une théorie universelle, d'un dénominateur commun entre différentes classes d'universalité. «Qu'il s'agisse de la fumée d'une cigarette ou de l'irrégularité dans l'écoulement de l'eau, explique François Bavaud, une fois écrits sous forme mathématique,

ces deux phénomènes sont apparentés. Mandelbrot a découvert des invariances d'échelle spatiales, Feigenbaum a démontré les invariances temporelles.»

Les résultats de ces pionniers, et de nombreux autres, firent boule de neige. Dès les années 80, le Chaos s'impose comme une étape incontournable de la pensée.

La mesure de l'inutilité du prévisionisme boursier

Concevoir un ordre immanent dans le désordre, comprendre que le Chaos est partout, que des systèmes, mêmes déterministes, peuvent être imprédictibles, induit des changements de comportement importants dans l'attitude du chercheur.

Une personne n'appréhende pas son quotidien de la même manière, selon qu'elle croit ou non à l'existence d'un au-delà. L'abîme pascalien révélé par le Chaos a eu aussi des effets dans d'autres domaines. Il a donné la mesure de l'inutilité du prévisionnisme boursier ou des contrats d'assurance. Nul doute que les analystes politiques ont dû eux aussi s'en inspirer. Pour le meilleur et pour le pire.

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